Теорема о сумме углов треугольника является фундаментальным положением евклидовой геометрии. Рассмотрим несколько способов доказательства этого утверждения.
Содержание
Доказательство через параллельные прямые
- Пусть дан произвольный треугольник ABC
- Проведем через вершину B прямую DE, параллельную стороне AC
- Углы DBA и BAC равны как накрест лежащие при параллельных прямых
- Углы EBC и BCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых
- Углы DBA, ABC и EBC образуют развернутый угол, равный 180°
- Следовательно, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°
Геометрическая иллюстрация доказательства
| Шаг | Обозначение углов | Равенство |
| 1 | ∠DBA = ∠1 | ∠1 = ∠BAC |
| 2 | ∠EBC = ∠2 | ∠2 = ∠BCA |
| 3 | ∠1 + ∠ABC + ∠2 | = 180° (развернутый угол) |
Альтернативное доказательство через вращение
- Представим движение по сторонам треугольника
- При повороте на угол A у вершины A
- Затем на угол B у вершины B
- И на угол C у вершины C
- В результате совершается полный поворот на 360°
- Но внешние углы дают 360°, значит внутренние: 180°
Доказательство для прямоугольного треугольника
- В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°
- Два других угла являются острыми и дополняют друг друга до 90°
- Следовательно: 90° + α + (90° - α) = 180°
- Что подтверждает общую теорему для частного случая
Исключения из теоремы
В неевклидовых геометриях сумма углов треугольника:
- В сферической геометрии - больше 180°
- В геометрии Лобачевского - меньше 180°
- Разница от 180° называется угловым дефектом
Представленные доказательства подтверждают, что в евклидовой геометрии сумма внутренних углов любого треугольника всегда равна 180 градусам.
