- Биномиальное разложение
- Ряд Тейлора
- Итерационные формулы
- Цепные дроби
- Арифметико-геометрическое среднее
Биномиальное разложение для √(1+x)
| Формула | √(1+x) = 1 + x/2 - x²/8 + x³/16 - 5x⁴/128 + ... |
| Область сходимости | |x| ≤ 1 |
| Пример для √2 | √2 = √(1+1) ≈ 1 + 1/2 - 1/8 + 1/16 ≈ 1.4375 |
- Выберите начальное приближение x₀
- Примените формулу: xₙ₊₁ = (xₙ + S/xₙ)/2
- Повторяйте шаг 2 до достижения нужной точности
- Предел последовательности даст √S
| Итерация | Значение |
| 0 | 2.00000 |
| 1 | 2.25000 |
| 2 | 2.23611 |
| 3 | 2.23607 |
Представление в виде цепной дроби
| Общий вид | √S = a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + 1/(a₃ + ...))) |
| Пример √2 | 1 + 1/(2 + 1/(2 + 1/(2 + ...))) |
- Программная реализация функций корня
- Аппаратные вычисления в калькуляторах
- Численные методы анализа
- Криптографические алгоритмы
Разложение квадратного корня в сумму позволяет не только вычислять его значение, но и анализировать свойства корней как функций. Точность вычислений зависит от количества учитываемых членов ряда или итераций метода.
